第六章　参数估计

结构定下来之后，剩下的是估参数、看显著性、判断参数是否可识别。本章覆盖矩估计、条件最小二乘与极大似然三条路线，并解释常数项为什么常常不显著。

6.1 矩估计

用样本自相关 ρ̂ₖ 代替理论值，代入 Yule-Walker 方程解出 φ：

P̂ φ̂ = ρ̂

优点：有闭式解，计算快；解出的 φ 一定落在平稳域内（因为用的是非负定的样本自协方差矩阵）。

缺点：效率低于极大似然；对 MA 部分不适用（MA 的 Yule-Walker 方程是二次的，解不唯一）；小样本偏差较大。

6.2 条件最小二乘（CSS）

给定初始值（通常取 ε₁ = … = ε_p = 0 或取无条件均值），递推算出全部 εₜ，然后最小化

Σₜ εₜ²

这等价于条件似然（把前 p 个观测当作给定）。

优点：计算简单，无需矩阵求逆；对 AR 部分等价于 OLS。

缺点：结果依赖初始值的处理方式；对 MA 部分，条件似然与精确似然的差异在小样本下不可忽略；不可逆的 MA 会导致递推发散。

6.3 极大似然（MLE）

在正态假设下，精确对数似然为

ln L = −(n/2) ln(2π) − (n/2) ln σ² − (1/2) ln|Ω| − (1/2σ²) y′Ω⁻¹y

其中 Ω 是自相关矩阵。实际计算用 Kalman 滤波递推，避免直接求 n×n 矩阵的逆。

CSS-ML：先用 CSS 得到初值，再切换到精确 ML 优化。这是 R 的 arima() 的默认做法，兼顾稳健与效率。

渐近性质：在正则条件下，MLE 是一致的、渐近正态的、渐近有效的（达到 Cramér-Rao 下界）。

6.4 标准误与显著性

参数的渐近协方差矩阵为

Var(φ̂) ≈ σ̂² (X′X)⁻¹

其中 X 是滞后项构成的回归矩阵。于是

z = 系数估计 / 标准误　~　N(0, 1)（渐近）

★ 为什么 ARIMA 报 z 值而不是 t 值？ 因为 ARIMA 的推断是渐近的，依赖大样本正态近似，而不是像线性回归那样在正态误差下精确服从 t 分布。样本量足够时两者几乎一样；小样本时 z 值会略微高估显著性。

95% 置信区间：估计值 ± 1.96 × 标准误。若区间跨过零，则该参数不显著。

6.5 为什么常数项/漂移项常常不显著

这是实践中极常见的现象，原因有四：

1. 标准误被放大。常数项的估计涉及 (1 − Σφᵢ) 这个分母，当 Σφᵢ 接近 1 时，分母很小，标准误很大。
2. 差分后的常数项含义变了。在原序列里它是"水平"，在差分序列里它变成"每期平均增量"，量级通常很小。
3. 样本内水平变化大。若序列在样本期内经历大幅涨跌，长期均值的估计本身就不确定，标准误自然大。
4. 真实效应确实接近零。很多经济序列在样本期内没有稳定的长期漂移。

★ 不显著 ≠ 应该删除。 是否保留取决于：

• 选模规则是否事先规定（若规则说"按验证误差选"，就不能因为不显著而删）；
• 预测目标（若关心长期预测，漂移项会被 h 放大，影响不可忽略）；
• 理论依据（若理论上应有趋势，不显著可能只是样本不足）。

6.6 参数冗余与不可识别

冗余的典型表现：

• AR 与 MA 部分的系数近似抵消（如 φ ≈ −θ）；
• 系数估计值很大但标准误更大，z 值接近零；
• 参数之间高度负相关；
• 不同初值收敛到差异很大的解。

原因：ARMA(p, q) 与 ARMA(p−1, q−1) 可能表示同一个过程。当公因子近似可约时，参数就无法唯一确定。

处理：降阶；或固定某个参数为 0；或改用更简约的设定。

6.7 估计失败的常见原因

现象	可能原因	处理
优化器不收敛	初值差、参数不可识别、模型过复杂	换初值、降阶、改用 CSS 给初值
根接近单位圆	过度差分、参数冗余	检查 d、降阶
标准误极大	参数不可识别、样本共线	降阶、检查数据
系数在边界上	真实参数接近 0 或 ±1	考虑简化模型
不同软件结果差异大	似然定义不同（条件/精确）、初值不同	统一设定、报告所用方法

★ 数据尺度会影响数值稳定性，但不影响结论。 用原始单位（如美元/桶）与用标准化后的数据估计，参数的 t 值、AIC 的可比性都不变（AIC 会差一个常数），但优化器的收敛行为可能不同。若遇收敛困难，可以先把数据缩放到单位方差再估计，最后把参数换算回原尺度。

要点

1. 矩估计有闭式解且必落平稳域，但效率低；MLE 渐近有效，是默认选择。
2. CSS-ML = 先条件最小二乘给初值，再精确极大似然优化。
3. 参数显著性用 z 值（渐近正态），95% 区间为估计 ± 1.96×SE。
4. 常数/漂移项不显著很常见，原因是标准误被 (1−Σφ) 放大，不显著不等于应删。
5. 系数大幅抵消、标准误极大是参数冗余的信号，应降阶。

自测 3 问

Q1：矩估计、CSS、MLE 各有什么特点？默认用哪个？

点开看答案

• 矩估计：有闭式解，结果必落平稳域，但效率低；
• CSS（条件最小二乘）：常用来给初值；
• MLE（极大似然）：渐近有效，是默认选择。

常见做法 CSS-ML：先用 CSS 给初值，再做精确极大似然优化。

Q2：常数项/漂移项不显著，是不是就该删掉？

点开看答案

不一定。它常常不显著，是因为标准误被 (1 − Σφ) 放大了；不显著不等于应删。

参数显著性用 z 值（渐近正态），95% 区间为估计 ± 1.96×SE。

Q3：参数冗余有什么信号？该怎么处理？

点开看答案

信号：系数大幅互相抵消、标准误极大（例如 AR 根和 MA 根几乎相等）。

处理：降阶。