深色模式
第七章 模型诊断
残差是模型充分性的唯一判据。本章讲残差三性、Ljung-Box 的自由度陷阱、正态性与 ARCH 效应，以及诊断不通过时的处理路径。
7.1 残差要满足的三个条件
模型充分性的最终判据是残差的行为。理想的残差应当满足：
- 零均值：E(eₜ) = 0；
- 无自相关：Cov(eₜ, eₜ₊ₖ) = 0，k ≠ 0；
- 同方差：Var(eₜ) = σ²，常数。
若还要做区间预测和显著性检验，再加一条：
- 正态性：eₜ ~ N(0, σ²)。
★ 残差不是误差。 真实误差 εₜ 不可观测；残差 eₜ 是"观测值减去模型拟合值"，它同时包含了真实误差和模型误设的部分。因此残差检验只能发现"模型没有解释掉的结构"，不能证明模型就是真的。
标准化残差：ẽₜ = eₜ / σ̂ₜ。当存在异方差时，用条件标准差标准化后的残差才可比较。
7.2 图形诊断
跑检验之前，四张图必须看：
- 残差时序图：看有无趋势、有无水平跳变、有无波动聚集、有无异常点。
- 残差 ACF：看有无残留自相关。若有，说明阶数不足。
- 正态 Q-Q 图：点是否沿 45° 线分布。两端偏离说明厚尾，单侧偏离说明偏斜。
- 残差对拟合值散点图：看是否呈喇叭形（异方差）。
图形能发现检验发现不了的问题——例如单个异常点可能让 Ljung-Box 通过，但在时序图上一目了然。
7.3 Ljung-Box 检验
检验残差前 m 阶是否联合为零自相关。统计量为
Q = n(n + 2) Σₖ₌₁^m ρ̂ₖ² / (n − k)
在原假设"前 m 阶自相关全为零"下，渐近服从
χ²(m − k*)
其中 k 是模型中已估计的参数个数*。
滞后阶数 m 的选择：常用 m = 12 或 24（月度数据）；一般规则是 m ≈ min(10, n/5)，或取季节周期的 2 倍。m 太小会漏掉高阶自相关，太大会稀释检验功效（把不显著的远距离滞后也纳入平均）。
★ 自由度必须扣除已估计的参数，这是最容易出错的地方。
- ARIMA(p, d, q)：扣 p + q；
- 若模型含常数项或漂移项：再扣 1；
- 若还含季节项：扣 P + Q。
举例：ARIMA(0,1,1) 加漂移，参数是 ma1 和 drift 共 2 个。滞后 12 阶时自由度应为 12 − 2 = 10，而不是 11。自由度算多了，p 值会偏大，导致本该拒绝的模型被误判为通过。
★ 解读的三条边界：
- 拒绝 = 有自相关，说明模型不充分，应升阶或换模型。
- 不拒绝 ≠ 独立。它只说明"没有足够证据反对无自相关"，尤其在样本短、m 大时，功效很低。
- m 的选择会影响结论。报告时应写明用了哪些 m，以及是否都对结论一致。
Box-Pierce 检验是 Ljung-Box 的前身，统计量为 Q = n Σρ̂ₖ²，小样本下表现较差，已被 Ljung-Box 取代。
7.4 正态性检验
Jarque-Bera 检验：
JB = (n/6) [ S² + (K − 3)² / 4 ] ~ χ²(2)
其中 S 是样本偏度（正态为 0），K 是样本峰度（正态为 3）。它同时检验偏度和超额峰度。
Q-Q 图更直观：若点沿 45° 线分布则近似正态；两端向上翘（右尾厚）、向下沉（左尾厚）说明厚尾；整体弯曲说明偏斜。
★ 非正态的后果分轻重：
- 点预测基本不受影响。高斯拟似然估计（把正态似然当工具用）在非正态下仍是一致的，点预测仍可用。
- 区间预测和显著性检验受影响。正态区间会失真，z 检验的实际水平偏离名义水平。
- 厚尾的典型后果：区间过窄，覆盖率低于名义值；极端值出现频率被低估。
7.5 异方差与 ARCH 效应
波动聚集（volatility clustering）指大幅波动倾向于聚集在一起，小幅波动也聚集在一起。图形上表现为"平静期"与"剧烈期"交替。
ARCH LM 检验：把残差平方对自身滞后回归
eₜ² = α₀ + α₁eₜ₋₁² + … + α_qeₜ₋q² + vₜ
检验统计量
LM = n R² ~ χ²(q)
原假设是"无 ARCH 效应"（即 α₁ = … = α_q = 0）。拒绝则说明存在条件异方差。
★ ARCH 效应存在时，常方差模型的两个后果：
- 参数标准误被低估，t 值虚高，可能把不显著的系数判为显著；
- 预测区间不随时期变化，在波动剧烈期过窄、在平静期过宽，覆盖率失真。
处理办法：GARCH(p, q)、EGARCH（捕捉杠杆效应）、TGARCH；或者用 bootstrap 重抽样构造经验区间；或者至少把区间明确标注为"常方差近似区间"，限制其解释。
7.6 结构稳定性检验
Chow 检验：把样本按某时点分成两段，比较分段估计与全样本估计的残差平方和，检验参数是否相同。需要事先知道断点位置。
Bai-Perron 检验：允许未知断点，同时估计断点位置与个数。
递归残差 / CUSUM 检验：逐个增加样本重新估计，看递归残差是否超出置信带，用于发现参数漂移。
7.7 诊断不通过时的处理路径
按问题类型分：
| 诊断结果 | 含义 | 处理 |
|---|---|---|
| Ljung-Box 拒绝 | 残留自相关 | 升阶；加季节项；考虑非线性 |
| 残差 ACF 在 s 处尖峰 | 遗漏季节性 | 加 SARIMA 项 |
| 残差 ACF 在滞后 1 大幅负值 | 过度差分 | 减少 d |
| JB 拒绝正态 | 厚尾或偏斜 | 对数变换；t 分布拟似然；bootstrap 区间；说明局限 |
| ARCH LM 拒绝 | 条件异方差 | GARCH 族；稳健标准误；bootstrap |
| 残差时序图有跳变 | 结构突变 | 虚拟变量；分段建模 |
| 递归残差越界 | 参数漂移 | 滚动窗口估计；时变参数模型 |
★ 一个重要原则：诊断的目的不是"让检验通过"，而是"知道模型在哪里不成立，并把结论限制在成立的范围内"。 把所有诊断都调到 p > 0.05 而不管模型是否合理，是另一种形式的数据操纵。
要点
- 残差三性：零均值、无自相关、同方差；做区间还要加正态。
- Ljung-Box 的 Q = n(n+2)Σρ̂ₖ²/(n−k)，自由度 = m − 已估参数个数（含常数/漂移）。
- 自由度算多了 p 值偏大，会把不充分的模型误判为通过。
- 不拒绝 ≠ 独立；非正态影响区间和检验，不影响点预测的一致性。
- ARCH 效应会使标准误低估、区间失真，应改条件异方差模型或 bootstrap。
- 诊断的目的是界定模型适用范围，不是让所有 p 值都变大。
自测 3 问
Q1：好模型的残差要满足哪几条？要做预测区间还要加什么？
点开看答案
残差三性：零均值、无自相关、同方差。
要做区间预测，还要加上正态。
Q2：Ljung-Box 检验的自由度怎么算？算多了会怎样？
点开看答案
自由度 = m − 已估参数个数（m 是检验用的滞后数；参数个数要把常数项/漂移项算进去）。
自由度算多了 → p 值偏大 → 把不充分的模型误判为通过。
Q3：残差有 ARCH 效应会带来什么问题？怎么处理？
点开看答案
ARCH 效应（方差随时间聚集）会让标准误被低估、预测区间失真。
处理：改用条件异方差模型，或用 bootstrap 构造区间。