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速查页 B 公式速查
本页汇总全书出现的公式，按主题分组，便于复习与临场查阅。
B1 基本量与平稳性
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 自协方差 | γₖ = Cov(Yₜ, Yₜ₊ₖ) = E[(Yₜ−μ)(Yₜ₊ₖ−μ)] |
| 自相关 | ρₖ = γₖ / γ₀ |
| 宽平稳三条件 | E(Yₜ)=μ；Var(Yₜ)=γ₀<∞；Cov(Yₜ,Yₜ₊ₖ)=γₖ |
| 样本自协方差 | γ̂ₖ = (1/n) Σₜ₌₁ⁿ⁻ᵏ (yₜ−ȳ)(yₜ₊ₖ−ȳ) |
| 白噪声置信带 | ±1.96/√n（95%） |
| 随机游走方差 | Var(Yₜ) = tσ² |
| 随机游走 ACF | ρₖ ≈ 1 − k/(2t) |
B2 模型与平稳可逆
| 模型 | 表达式 | 平稳条件 | 可逆条件 |
|---|---|---|---|
| MA(q) | yₜ = μ + εₜ + Σθᵢεₜ₋ᵢ | 恒平稳 | 1+θ₁z+…+θ_qz^q=0 根在圆外 |
| AR(p) | yₜ = c + Σφᵢyₜ₋ᵢ + εₜ | 1−φ₁z−…−φ_pz^p=0 根在圆外 | 恒可逆 |
| ARMA(p,q) | 两者结合 | 由 AR 部分决定 | 由 MA 部分决定 |
| ARIMA(p,d,q) | φ(B)(1−B)^d yₜ = c + θ(B)εₜ | 差分后平稳 | 由 MA 部分决定 |
| SARIMA | φ(B)Φ(B^s)(1−B)^d(1−B^s)^D yₜ = c + θ(B)Θ(B^s)εₜ | 双重差分后平稳 | 由 MA 与 SMA 决定 |
B3 AR(1) 与 ARMA(1,1) 的显式结果
| 量 | AR(1)：yₜ = φyₜ₋₁ + εₜ | ARMA(1,1)：yₜ = φyₜ₋₁ + εₜ + θεₜ₋₁ |
|---|---|---|
| 均值 | 0 | 0 |
| 方差 | σ²/(1−φ²) | σ²(1+2φθ+θ²)/(1−φ²) |
| ρ₁ | φ | (1+φθ)(φ+θ)/(1+2φθ+θ²) |
| ρₖ (k≥2) | φᵏ | φ^(k−1)ρ₁ |
| Green 函数 ψ₀ | 1 | 1 |
| ψ₁ | φ | φ + θ |
| ψⱼ (j≥2) | φʲ | φ^(j−1)(φ+θ) |
B4 信息准则
| 准则 | 公式 | 惩罚强度 | 目标 |
|---|---|---|---|
| AIC | −2lnL + 2k | 最弱 | 预测最优 |
| AICc | AIC + 2k(k+1)/(n−k−1) | 略强 | 小样本的 AIC 修正 |
| HQ | −2lnL + 2k ln(ln n) | 中 | 折中 |
| BIC | −2lnL + k ln n | 最强 | 一致估计真阶 |
B5 诊断检验
| 检验 | 统计量 | 原假设 | 分布 |
|---|---|---|---|
| ADF | t = γ̂/SE(γ̂) | 存在单位根（γ=0） | Dickey-Fuller（左偏） |
| KPSS | LM = (1/n²)ΣSₜ²/σ̂² | 平稳 | 专用分布（右尾） |
| Ljung-Box | Q = n(n+2)Σₖ₌₁^m ρ̂ₖ²/(n−k) | 前 m 阶自相关为零 | χ²(m − 已估参数数) |
| Box-Pierce | Q = n Σρ̂ₖ² | 同上 | χ²(m − 已估参数数) |
| Jarque-Bera | JB = (n/6)[S² + (K−3)²/4] | 正态 | χ²(2) |
| ARCH LM | LM = nR²（eₜ² 对自身滞后回归） | 无 ARCH | χ²(q) |
B6 预测
| 量 | 公式 |
|---|---|
| 最优预测 | ŷ_{T+h} = E(y_ |
| 预测误差 | e_h = Σⱼ₌₀^{h−1} ψⱼ ε_ |
| 误差方差 | Var(e_h) = σ² Σⱼ₌₀^{h−1} ψⱼ² |
| 95% 区间 | ŷ_{T+h} ± 1.96 σ √(Σⱼ₌₀^{h−1} ψⱼ²) |
| 平稳模型长期预测 | ŷ → μ = c/(1−Σφᵢ) |
| 含漂移 ARIMA 长期预测 | ŷ → 斜率 c 的直线，区间按 √h 增长 |
| ARIMA(0,1,1) 误差方差 | σ²[1 + (h−1)(1+θ)²] |
B7 评价指标
| 指标 | 公式 | 备注 |
|---|---|---|
| RMSE | √((1/n)Σeₜ²) | 与原序列同量纲；惩罚大误差 |
| MAE | (1/n)Σ | eₜ |
| MAPE | (100/n)Σ | eₜ/yₜ |
| sMAPE | (100/n)Σ 2 | eₜ |
| MASE | MAE / [(1/(n−m))Σ | yₜ−yₜ₋ₘ |
| DM | d̄ / √(2π f̂_d(0)/T) | 比较两个模型精度差异 |
| 恒等关系 | RMSE ≥ MAE | 等号仅当所有 |
B8 NNAR
| 量 | 公式或说明 |
|---|---|
| 模型 | ŷₜ = β₀ + Σⱼ₌₁ᵏ βⱼ σ(aⱼ₀ + Σᵢ₌₁ᵖ aⱼᵢ yₜ₋ᵢ) |
| 输出上界 | ŷ ∈ [β₀ − Σⱼ |
| 归一化 | y' = (y − min)/(max − min)，min/max 只能取训练前缀 |
| 常见默认 | k ≈ (p+P+1)/2；decay = 0；maxit = 100；repeats = 20 |
| 随机性 | 权重初始化；必须 set.seed() 并报告种子 |
结语
这门课的主线其实只有一句话：用尽可能少的假设，把序列中可预测的部分提取出来，并对提取不掉的部分保持诚实。
三个层次的区分贯穿始终：
- 识别——数据是否支持某类结构？（平稳性、ACF/PACF、单位根）
- 估计——在给定结构下，参数是多少、是否显著？（MLE、标准误、置信区间）
- 检验——这个结构在没见过的数据上还能用吗？（样本外评价、基准对比、DM 检验）
绝大多数错误，都源于把这三个层次混为一谈——用样本内拟合冒充预测能力，用不拒绝冒充证明，用漂亮的指标冒充有效的模型。把这三层分清楚，这门课就通了。