深色模式
第八章 预测
预测的理论核心是条件期望与误差方差。本章推导 ARMA 的预测公式与区间宽度，并解释为什么含单位根的模型区间会按根号 h 扩张。
8.1 最小均方误差预测
在平方损失下，最优预测是条件期望：
ŷ_{T+h} = E(y_{T+h} | F_T)
其中 F_T 是到 T 期为止的全部信息。这就是"最小均方误差预测"（MMSE）。
严格说，条件期望在所有预测函数中最小化 MSE；若限定为线性函数，得到的是线性投影，两者只在联合正态下相同。ARMA 框架下的预测公式给出的正是线性投影。
预测误差：e_{T+h} = y_{T+h} − ŷ_{T+h}，其条件均值为零（无偏）。
8.2 AR(p) 的递推预测
一步：ŷ_{T+1} = c + φ₁y_T + φ₂y_{T−1} + … + φ_py_{T−p+1}
二步：ŷ_{T+2} = c + φ₁ŷ_{T+1} + φ₂y_T + … + φ_py_
关键点是：多步预测时，未知的未来值用其预测值代入。随着 h 增大，越来越多的真实值被预测值替代，误差逐层累积。
当 h → ∞ 时，ŷ_{T+h} → μ = c/(1 − Σφᵢ)，即收敛到无条件均值。
8.3 MA(q) 的预测
MA(q) 的记忆只有 q 期，因此：
当 h ≤ q：ŷ_{T+h} = μ + Σⱼ₌ₕ^q θⱼ ε_{T+h−j}
当 h > q：ŷ_{T+h} = μ
也就是说，超过 q 步之后，MA 的预测就是均值。这是 MA 模型"短记忆"的直接体现。
8.4 ARMA 的预测与误差方差
用 MA(∞) 表示最方便：
y_{T+h} = μ + Σⱼ₌₀^∞ ψⱼ ε_
其中 j < h 的项含未来冲击（不可知，期望为零），j ≥ h 的项含已知的历史冲击。因此
ŷ_{T+h} = μ + Σⱼ₌ₕ^∞ ψⱼ ε_{T+h−j}
预测误差为
e_h = Σⱼ₌₀^{h−1} ψⱼ ε_{T+h−j}
由于 ε 相互独立、方差 σ²，误差方差为
Var(e_h) = σ² Σⱼ₌₀^{h−1} ψⱼ²
这个公式是全部预测区间理论的基石。三个直接推论：
- h 增大时求和项增多，方差单调不减；
- 当 h → ∞，方差收敛到 σ² Σⱼ₌₀^∞ ψⱼ²（无条件方差），前提是 ψⱼ 平方可和（平稳）；
- 若模型含单位根，ψⱼ 不衰减，方差随 h 无界增长。
8.5 预测区间
在正态假设下，h 步预测的 95% 区间为
ŷ_{T+h} ± 1.96 · σ · √(Σⱼ₌₀^{h−1} ψⱼ²)
★ 区间宽度随 h 如何增长？ 取决于 ψⱼ 的衰减速度：
- 平稳 ARMA：ψⱼ 指数衰减，Σψⱼ² 很快收敛 → 区间宽度很快趋于一个上界。
- ARIMA(0,1,1)：ψ₀ = 1，ψⱼ = 1 + θ（j ≥ 1），不衰减 → Σψⱼ² = 1 + (h−1)(1+θ)²，与 h 成正比 → 区间宽度按 √h 增长。
这解释了为什么随机游走类模型的长期预测区间会张得非常大——这是模型性质的必然结果，不是估计不准。
★ 实际区间通常偏窄，原因有三：
- 忽略参数不确定性。公式把 φ、θ、σ² 当作已知，实际它们是估计出来的，会带来额外方差。
- 假设模型正确。结构变化、遗漏变量都会让真实误差大于公式值。
- 忽略厚尾与异方差。正态分位数在厚尾分布下偏小。
实践中可以用 bootstrap（重抽样残差、重新估计、重新预测）得到更接近真实的区间。
8.6 长期预测的收敛行为
| 模型 | h → ∞ 时预测值 | 区间宽度 |
|---|---|---|
| 平稳 ARMA（无常数） | 收敛到 0 | 收敛到常数 |
| 平稳 ARMA（含常数） | 收敛到 μ = c/(1−Σφ) | 收敛到常数 |
| ARIMA(p,1,q) 无漂移 | 收敛到一条水平线（最后观测值附近） | 按 √h 增长 |
| ARIMA(p,1,q) 含漂移 | 收敛到一条斜率为 c 的直线 | 按 √h 增长 |
| 趋势平稳（退势后建模） | 收敛到趋势线 | 收敛到常数 |
★ 含漂移 ARIMA 的长期预测是一条直线，这是很多人看到"预测图后半段变成直线"的原因。这条直线的斜率完全由漂移项决定，所以漂移项是否可信，直接决定长期预测是否可信。若漂移不显著而仍被保留，长期预测就会带有一个方向明确但统计上无依据的趋势。
8.7 预测失效的三个来源
- 模型错误：真实机制改变（结构突变），模型仍在用旧参数。
- 参数不确定性：参数估计误差在长预测期被放大。
- 不可预测的冲击：新信息本身不可预知，这是预测误差的下界，无法消除。
★ 三者中，第一类最致命也最常被忽视。任何模型的预测能力都以"生成机制不变"为前提，这个前提在长样本上几乎总是不成立。
8.8 组合预测
把多个模型的预测加权平均：
ŷ_combo = Σᵢ wᵢ ŷᵢ
理论与实证都表明，简单平均（等权）往往优于估计最优权重。原因是权重估计本身有误差，在样本短时误差可能大于收益。
组合预测有效的前提是各模型的误差不完全相关。如果两个模型结构相似、误差高度相关，组合的收益很小。
8.9 两种预测协议的对比
| 维度 | 滚动一步 | 固定原点多步 |
|---|---|---|
| 参数 | 每个原点重新估计 | 只在起点估计一次 |
| 信息集 | 每期更新 | 固定 |
| 预测步长 | 恒为 1 | 1 到 h |
| 误差结构 | 只有一步误差 | 误差随 h 累积 |
| 模拟的现实场景 | 持续监控、每月更新 | 一次性规划、中途不调整 |
| 典型用途 | 评估模型的"更新能力" | 评估模型的"外推能力" |
★ 一个常见的误判：看到滚动一步的 RMSE 很小，就认为模型"预测很准"。但滚动一步只预测下一个月，而实际业务往往需要预测一整年。两种协议的结论可能完全相反——滚动一步略优、固定原点明显劣于基准，是完全可能的，且这个组合本身很有信息量。
要点
- 最优预测是条件期望；预测误差均值为零，方差为 σ²Σψⱼ²。
- AR 多步预测用预测值递归代入；MA 超过 q 步即回到均值。
- 平稳模型的区间宽度收敛到常数；含单位根的按 √h 增长。
- 含漂移 ARIMA 的长期预测是一条直线，斜率由漂移项决定。
- 组合预测的等权平均常优于估计权重，前提是误差不完全相关。
- 滚动一步与固定原点测的是两种能力，结论可以相反。
自测 3 问
Q1：最优预测是什么？h 步预测误差的方差怎么算？
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均方误差意义下的最优预测是条件期望。预测误差均值为零，方差为 σ²Σψⱼ²（j 从 0 到 h−1，ψⱼ 是 Green 函数权重）。
Q2：平稳模型和含单位根模型的预测区间，随预测步长怎么变化？
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- 平稳模型：区间宽度随 h 增大，最后收敛到一个常数；
- 含单位根：区间宽度按 √h 增长，不收敛。
含漂移的 ARIMA，长期点预测是一条直线，斜率由漂移项决定。
Q3：AR 和 MA 的多步预测有什么不同？
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- AR：多步预测用前面的预测值递归代入；
- MA(q)：超过 q 步后，预测回到均值（再往后已经没有可用的冲击信息）。